第七中文

第26章 无解之题两种答案（第2页）

这才是出题人想要看到的“天才的火”。

显然这种题就是筛选做题家和天才的！

然而，许燃的思维，再次跳出了出题人的预设。

“染色法么……可以，很標准，但不够漂亮。”

他嘴角微扬，提笔在答题纸上飞快地书写起来。

【解法一：染色证明】

【我们將nxn的棋盘用四种顏色{1，2，3，4}进行染色。令坐標为（i，j）的格子的顏色为（i2）+2（j2）+1。即交替染成：】

【1313。。。】

unitedstatesunitedstatesdating

【2424。。。】

【1313。。。】

【2424。。。】

【可以发现，任何一个1x4的骨牌，无论横放还是竖放，都必然会恰好覆盖四种顏色各一个。】

【因此，若要完全覆盖，则棋盘中四种顏色的格子数量必须相等。】

【但当n为奇数时，四种顏色的格子数不可能完全相等。】

【当n为偶数时……】

许燃的笔速极快，只用了不到二十分钟，就將一个完美无瑕、逻辑严谨的染色法证明，写满了半张答题纸。

这个答案，足以让他拿下满分。

但他停下了笔，看了一眼自己写下的证明，轻轻摇了摇头。

“太普通了。”

他拿起一张新的答题纸，在上面写下了三个大字——【解法二】。

这一次，他的思路，天马行空，完全脱离了高中竞赛的范畴。

【解法二：代数赋值法】

【我们將复数域引入棋盘。令坐標为（i，j）的格子的权值为w^（i+2j），其中w=e^（iπ2）=i，为四次单位根。】

【那么，整个棋盘所有格子权值的总和s=Σw^（i+2j）（1≤i，j≤n）。】

【这是一个可以利用等比数列求和公式计算的几何级数……】

【经过计算，若且唯若n是4的倍数时，s=0。】